ED linéaire du premier ordre est du type $$y'=a(x)y+b(x)$$ avec \(a,b\) définies sur \(I\subset\Bbb R\)
Définition :
$$y'=a(x)y\tag{E0}$$ est l'équation homogène
Théorème :
L'équation différentielle $$y'=ay\tag{3}$$ avec \(a\in\Bbb R\) admet comme solutions $$y(x)={{\lambda e^{ax},\lambda\in\Bbb R}}\tag{S}$$
Une équation différentielle du premier ordre avec un second membre est du type $$y'=a(x)y+b(x)\tag{E}$$ avec \(a:I\to\Bbb R\) et \(b:I\to\Bbb R\) des fonctions continues
Proposition :
Si \(y_0\) est une solution de \((E)\), alors les solutions de \((E)\) sont : $$y(x)=y_0(x)+ke^{A(x)}$$ où \(y:I\to\Bbb R\), \(x\mapsto A(x)\) est une primitive de \(x\mapsto a(x)\)
(Continuité, Fonction exponentielle)
Exemple :
$$y'+y=e^x+1\tag{E}$$
Équation homogène associée :$$\begin{align}&y'+y=0\\ \implies& y'=-y\\ \implies& y(x)=ke^{-x},k\in\Bbb R\end{align}$$
Solution particulière :
Soit \(y_0(x)=k(x)e^{-x}\)
\(y_0\) vérifie l'équation \((E)\)
$$\begin{align}&y'_0+y_0=e^x+1\\ \implies&\underbrace{\left(k'(x)e^{-x}-k(x)e^{-x}\right)}_{y'_0}+\underbrace{k(x)e^{-x}}_{y_0}=e^x+1\\ \implies&k'(x)e^{-x}=e^x+1\\ \implies&k'(x)=e^{2x}+e^{x}\\ \implies&k(x)=\frac12e^{2x}+e^x+\underbrace{\lambda}_{=0}\end{align}$$
Donc $$\begin{align}y_0(x)&=k(x)e^{-x}\\ &=\left(\frac12e^{2x}+e^x\right)e^{-x}\\ &=\frac12e^x+1\end{align}$$
Finalement, $$\begin{align}y(x)=\frac{e^x}2+1+ke^{-x},k\in\Bbb R\end{align}$$